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執位（permutation）是將集合中的元素重新排列組合的一類代數函數，性質為將集合或羣體中的元素調換位置。此概念自19世紀中葉開始由數學家探討，直至1850年左右，數學家Cayley使用抽象羣的概念定義執位。
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執位是一個從集合
$$\A$$
打回集合
$$\A$$
的可逆函數，即
$$\phi: \A \to \A$$。
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執位羣（permutation group）是由執位形成的羣，二元運算為函數組合。
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與微積分不同，在代數中很少使用特定公式表示函數。例如，
$$\phi$$
是
$$\lbrace 1,2,3,4\rbrace$$
的置換，定義如下：
$$\phi(1)=1, \phi(2)=4, \phi(3)=2, \phi(4)=3$$
我們可以使用矩陣來表示
$$\phi$$：
$$\phi = $$
[
$$1\quad2\quad3\quad4$$
$$
|\quad|\quad|\quad|\quad|$$
$$1\quad4\quad2\quad3$$
]
若
$$\lbrace 1,2,3,4,5\rbrace$$有兩個執位
$$\phi = $$
[
$$1\quad2\quad3\quad4\quad5$$
$$
|\quad|\quad|\quad|\quad|$$
$$2\quad4\quad3\quad5\quad1$$
]
和
$$\sigma = $$
[
$$1\quad2\quad3\quad4\quad5$$
$$
|\quad|\quad|\quad|\quad|$$
$$5\quad4\quad1\quad2\quad3$$
]
，則
$$\sigma\phi$$
等於
$$\sigma \circ \phi = $$
[
$$1\quad2\quad3\quad4\quad5$$
$$
|\quad|\quad|\quad|\quad|$$
$$1\quad5\quad2\quad4\quad3$$
]。$$\sigma\phi$$
的意義為先執行
$$\phi$$
再執行
$$\sigma$$。
- 三邊對稱羣
$$\S_3$$
是將集合
$$\lbrace 1,2,3\rbrace$$
內的元素替換為自身的一一對應函數。
$$\S_3$$
是一個執位羣，共有六個元素。- 執位、組合函數、抽象羣、對稱羣、一對一函數、二元運算、可逆函數、矩陣表示
[反序改寫]
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執位羣是由執位形成的羣，運算為函數組合。
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執位是將集合中的元素重新排列組合的一類代數函數，性質為將集合或羣體中的元素調換位置。
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若
$$\lbrace 1,2,3,4,5\rbrace$$
有兩個執位
$$\phi$$
和
$$\sigma$$，則
$$\sigma\phi$$
等於
$$\sigma \circ \phi$$，意義為先執行
$$\phi$$
再執行
$$\sigma$$。 -
使用矩陣可以表示執位，例如：
$$\phi = $$
[
$$1\quad2\quad3\quad4$$
$$
|\quad|\quad|\quad|\quad|$$
$$1\quad4\quad2\quad3$$
]
表示
$$\lbrace 1,2,3,4\rbrace$$
的某個置換。 -
執位是一個從集合
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與微積分不同，在代數中很少使用特定公式表示函數，例如執位
$$\phi$$
可定義為：
$$\phi(1)=1, \phi(2)=4, \phi(3)=2, \phi(4)=3$$ -
三邊對稱羣
$$\S_3$$
是將集合
$$\lbrace 1,2,3\rbrace$$
內的元素替換為自身的一一對應函數。
$$\S_3$$
是一個執位羣，共有六個元素。 -
執位羣是由執位形成的羣，運算為函數組合。
執位：權力的雙面刃
引言
在浩瀚的歷史長河中，執位者扮演著舉足輕重的人物。他們手握權柄，指引著國家與社會的發展。然而，執位既帶來權力與影響力，也隱含著巨大的挑戰與風險。本文將深入探討執位者的雙重面貌，分析權力的來源、形式，以及潛在的影響，以期為執政者的決策提供借鑑和參考。
權力的來源
執位者的權力主要來自於政治制度和個人能力。
| 權力來源 | 説明 |
|---|---|
| 政治制度 | 憲法、法律、制度規範賦予職位相應的權力範圍與職責 |
| 個人能力 | 領導魅力、管理能力、決策魄力等個人特質，影響權力的運用與影響力 |
權力的形式
根據馬克斯·韋伯的分類，權力可以分為三種基本形式：
| 權力形式 | 特徵 | 例子 |
|---|---|---|
| 合法權威 | 建立於法律、制度和憲法的基礎之上 | 總統、總理 |
| 傳統權威 | 基於習俗、傳統和慣例 | 君主、教皇 |
| 魅力權威 | 領袖個人的非凡魅力和感召力 | 希特勒、甘地 |
執位的影響
執位者的決策與行為將對國家和社會產生深遠的影響，既可能帶來進步與發展，也可能引發危機與動盪。常見的影響包括：
| 影響 | 説明 |
|---|---|
| 政策影響 | 制定和實施法律、政策，影響經濟發展、社會福利等各方面 |
| 社會影響 | 形塑社會價值觀、道德標準，影響人民的生活方式 |
| 國際影響 | 代表國家與國際社會互動，影響外交政策、國際地位 |
權力的雙面刃
執位者所擁有的權力是一把雙面刃。一方面，它可以幫助他們推動改革，改善民生，促進社會發展。另一方面，權力也可能成為腐敗、濫權和獨裁的温牀。
風險與挑戰
| 風險 | 説明 |
|---|---|
| 政治鬥爭 | 權力爭奪、派系傾軋，影響執政穩定 |
| 社會壓力 | 民眾訴求、社會動盪，挑戰執政能力 |
| 國際環境 | 地緣政治變遷、經濟危機，影響國家發展 |
結論
執位是一份重任，更是對道德、能力和智慧的考驗。執位者肩負著建設國家、服務人民的使命，同時也承擔著避免權力濫用、維護社會公正的責任。唯有腳踏實地，深入羣眾，以民為本，方可發揮權力的正向作用，創造一個繁榮昌盛的社會。