三點求圓方程推導

假設有一個圓，圓心坐標為 (x0, y0)，半徑為 r。則圓的方程可表示為：

(x – x0)^2 + (y – y0)^2 = r^2

給定圓上三個點 (x1, y1)，(x2, y2) 和 (x3, y3)，可列出以下等式：

(x1 – x0)^2 + (y1 – y0)^2 = r^2
(x2 – x0)^2 + (y2 – y0)^2 = r^2
(x3 – x0)^2 + (y3 – y0)^2 = r^2

將第一個和第二個等式相減，再將第一個和第三個等式相減，化簡後得到：

2(x1 – x2) * (x0 – 0.5(x1 + x2)) + 2(x2 – x3) * (x0 – 0.5(x2 + x3)) = 0
2(y1 – y2) * (y0 – 0.5(y1 + y2)) + 2(y2 – y3) * (y0 – 0.5(y2 + y3)) = 0

若係數矩陣的行列式不為 0，則圓心 (x0, y0) 存在唯一解：

| | (x1 - x2) (x1 - x3) | | |
| | (y1 - y2) (y1 - y3) | | |
| |-2(x1 - x2*0.5*(x1 + x2))-2(x2 - x3*0.5*(x2 + x3)) | |=0
| |-2(y1 - y2*0.5*(y1 + y2))-2(y2 - y3*0.5*(y2 + y3)) | |

圓心 (x0, y0) 解出後，將任意一個給定點代回圓方程即可求得半徑 r：

r^2 = (xi – x0)^2 + (yi – y0)^2

最終得到的圓方程為：

三點成圓：幾何學中的基礎原理

在幾何學中，「三點成圓」是一個基本原理，説明給定任何三點，都能找到一個圓通過這三點。這個原理廣泛應用於幾何學和工程學領域。

三點成圓的證明

考慮三點 A、B、C，不妨將其坐標設為 (x₁, y₁)、(x₂, y₂) 和 (x₃, y₃)。假設圓心為 (h, k)，其半徑為 r。根據圓的定義，三點到圓心的距離相等：

|A - (h, k)| = |B - (h, k)| = |C - (h, k)| = r

將上述等式帶入距離公式，可得：

(h - x₁)² + (k - y₁)² = r²
(h - x₂)² + (k - y₂)² = r²
(h - x₃)² + (k - y₃)² = r²

減掉後兩式中的第一式，消去 r²，可得：

2(x₁ - x₂)h + 2(y₁ - y₂)k - x₁² - y₁² = 2(x₂ - x₃)h + 2(y₂ - y₃)k - x₂² - y₂²

展開並整理，可得：

(x₁² + y₁² - x₂² - y₂²)h + (x₂² + y₂² - x₃² - y₃²)k = (x₂y₁ - x₁y₂) + (x₃y₂ - x₂y₃)

這是一個關於 h 和 k 的一元一次方程組。求解方程組可得到圓心的坐標：

h = {((x₂ - x₃)(y₁ - y₂) - (x₁ - x₂)(y₂ - y₃))/(2(x₁y₂ - x₂y₁ + x₃y₁ - x₁y₃))}
k = {((x₃ - x₁)(y₂ - y₁) - (x₂ - x₃)(y₁ - y₂))/(2(x₁y₂ - x₂y₁ + x₃y₁ - x₁y₃))}

代入圓心坐標，即可得到圓的方程式：

(x - h)² + (y - k)² = r²

其中 r² 可由上述三點到圓心距離等式的任意一個求得。

三點成圓的應用

三點成圓原理在幾何學和工程學中廣泛應用，例如：

延伸閲讀…

三點確定一個圓的計算方法原創

三點求圓方程

• 圓心定位：給定圓上的三點，可以利用三點成圓原理求出圓心。
• 圓周長和麪積計算：知道圓心和半徑後，可以計算圓周長和麪積。
• 圓弧長度計算：給定圓的圓心、半徑和端點，可以計算圓弧長度。
• 圓錐和球體體積計算：圓錐和球體都是以圓為基礎的立體圖形。通過利用三點成圓原理確定圓的參數，可以計算圓錐或球體的體積。

表格：三點成圓原理的應用