蒙提霍爾問題：反直覺的換門策略

引言

面臨三扇未知門扉的選擇，蒙提霍爾問題考驗著我們的直覺，引領我們踏上探求概率背後奧秘的旅程。

問題敍述

遊戲中，一扇門後藏有汽車，另兩扇則隱藏著山羊。參賽者挑選一扇門，主持人隨機開啟另一扇後方的山羊，並詢問參賽者是否更換選擇。問題在於，更換選擇能增加贏得汽車的機率嗎？

直覺與邏輯

直覺告訴我們，更換或不更換的選擇機率相等。然而，邏輯推論卻揭示了不同的答案：

機率分析

假設參賽者最初選擇門1，有以下三種情況：

• 情況1：汽車在門1後。不更換選擇，100% 獲勝。
• 情況2：汽車在門2或門3後。若不更換選擇，則0% 機率獲勝；若更換選擇，則100% 獲勝。

三種情況機率均為 1/3，因此：

• 不更換選擇獲勝機率：1/3
• 更換選擇獲勝機率：2/3

違反直覺的悖論

邏輯推論表明，更換選擇能將獲勝機率從 1/3 提升至 2/3。這違背了我們的直覺，因應為選擇哪扇門一開始就已確定。

換門的優勢

關鍵在於，更換選擇後，參賽者只會選擇一開始未選擇的門。而未選擇的門中必然包含汽車的所在。因此，更換選擇有效避免了最初選擇到山羊的風險，大大提高了獲勝機會。

結論

蒙提霍爾問題提醒我們，直覺判斷有時會被更有力的邏輯推論所推翻。通過機率分析，我們發現換門是更明智的策略，儘管它乍看之下似乎違反了常識。

三個門機率

三個門機率是指在一個有三個門的遊戲中，玩家在開啟一個門後，主持人會將另外兩扇沒有獎品的門中的一扇開啟，然後給玩家選擇換門還是堅持原來的選擇的機率問題。

來龍去脈

這個問題最早是由美國數學家馬裏林·福克斯（Marilyn vos Savant）在1990年提出。在福克斯提出的版本中，遊戲如下：

• 有三個門，其中一扇後面有獎品（一個汽車），另外兩扇後面都是山羊。
• 玩家先隨意選擇一扇門。
• 主持人然後開啟另一扇門，後面是山羊。
• 主持人問玩家，是否要換另一扇未開啟的門。

福克斯主張，換門和堅持原來的選擇的機率各為 1/2。然而，許多人直覺認為，換門的機率應該更高，因為主持人已經排除了一個山羊，所以剩下的兩扇門中，獎品門的機率應該變為 2/3。

機率計算

以下是福克斯提出的機率計算：

• 選擇一扇門的機率：1/3
• 門後為獎品的機率：1/3
• 主持人開啟山羊門的機率：1/2
• 換門的機率：1/2

這些機率可以直接從條件機率公式中計算出來：

P(換門) = P(獎品門在原先選擇門的另一邊)
= P(獎品門在原先選擇門的另一邊 | 主持人開啟山羊門) * P(主持人開啟山羊門)
= (1/2) * (1/2)
= 1/4

換門的機率為 1/4，而堅持原來的選擇的機率也是 1/4。因此，換門和堅持原來的選擇的機率相等。

表格表示

下表總結了三個門機率的各種情況：

其他看法

儘管福克斯的機率計算正確，但許多人仍然認為換門的機率應該是 2/3。這種直覺的來源可能是因為人們傾向於「心智捷徑」，沒有仔細考慮所有可能的結果。

延伸閲讀…

換？還是不換？

三門問題_百度百科

換句話説，在直覺上，人們會認為主持人在開啟山羊門後，剩下的兩個門中，獎品門的機率應該變高。然而，從機率的角度來看，主持人開啟山羊門的行為並不會影響獎品門的位置，因此換門和堅持原來的選擇的機率仍然相等。