線條與平面交錯間的公垂線

前言

空間幾何中，探討兩條或多條線段或直線之間的垂直關係，形成了公垂線的概念。公垂線不僅貫通直線，更劃分了平面和異面之間的距離。

公垂線的定義

垂直於兩個平行平面的直線，稱為這兩個平面的公垂線。公垂線夾在兩個平行平面之間的部分，稱為公垂線段。

異面直線的公垂線

和兩條異面直線都垂直相交的直線，稱為兩條異面直線的公垂線。公垂線與兩條直線相交形成的線段，稱為公垂線段。公垂線段的長度，即為兩條異面直線的距離。

性質和定理

• 兩條異面直線有且只有一條公垂線。
• 兩條異面直線的公垂線段長度，是連接兩條直線兩點的最短線段。

常用計算方法

1. 找出或構造公垂線，計算公垂線段的長度。
2. 使用以下公式：

距離 = 公垂線段長度 ÷ sin(直線夾角)

與直線垂直的概念

與兩條異面直線都垂直的直線，稱為兩條異面直線的公垂線。兩條直線垂直於一條公垂線，稱為：

• 相交垂直（平面內兩條相交直線垂直）
• 異面垂直（空間中兩條異面直線垂直）

表格總結

公垂線定義

公垂線定義是幾何學中一個重要的概念，它可以幫助我們定義和描述幾何形狀。公垂線定義有兩種形式：點到直線的公垂線定義和直線到平面的公垂線定義。

點到直線的公垂線定義

點到直線的公垂線定義如下：

對於平面上的任一點 P 和一條直線 l，如果存在一條過點 P、垂直於直線 l 的直線 m，那麼 m 稱為點 P 到直線 l 的公垂線。

換句話説，公垂線就是過該點且垂直於該直線的所有直線的交集。

直線到平面的公垂線定義

直線到平面的公垂線定義如下：

對於空間中的任一條直線 l 和一個平面 α，如果存在一條過直線 l、垂直於平面 α 的直線 m，那麼 m 稱為直線 l 到平面 α 的公垂線。

換句話説，公垂線就是過該直線且垂直於該平面的所有直線的交集。

公垂線的性質

公垂線具有以下性質：

公垂線的應用

公垂線在幾何學中有很多應用，例如：

延伸閲讀…

概念,引申含義,異面直線的公垂線,定義,定理,基於 …

公垂線

• 求解點到直線或直線到平面的距離
• 判定兩條直線或直線和平面是否垂直
• 構造垂直於直線或平面的直線或平面
• 求解幾何形狀的周長、面積和體積

公垂線定理

公垂線定義還導致了兩個重要的公垂線定理：

• 點到直線的公垂線定理：對於平面上的任一點 P 和一條直線 l，如果 m 是點 P 到直線 l 的公垂線，那麼點 P 到直線 l 的距離等於 m 上的點到直線 l 的距離。
• 直線到平面的公垂線定理：對於空間中的任一條直線 l 和一個平面 α，如果 m 是直線 l 到平面 α 的公垂線，那麼直線 l 到平面 α 的距離等於 m 上的點到平面 α 的距離。